[포트폴리오 이론 1] 포트폴리오 구성

해리 마코위츠의 현대 포트폴리오 이론 (Moderen Portfolio Theory)의 기본이 되는 포트폴리오 구성 방법에 대한 노트입니다. 마코위츠의 포트폴리오 최적화 문제 (Portfolio Optimization Problem)은 이후에 Capital Asset Pricing Model (자본자산 가격결정 모형)의 토대가 됩니다.

1. 포트폴리오의 기대수익과 수익분산

포트폴리오란 개인 또는 기관이 보유한 각종 금융자산(financial asset)의 집합입니다. 금융자산은 기본적인 주식(stock), 채권(bond)부터 부동산(real estate)과 파생상품(derivatives)까지 종류가 무궁무진 합니다. 이 포스트에서는 가장 심플한 포트폴리오 구성을 이론적으로 풀어내겠습니다.

• A와 B라는 두 개의 금융자산이 있다고 가정합니다. 두 자산은 같은 포트폴리오 안에 들어있고 임의의 동일한 시간선상에서 금융시장에 투자되어 있습니다. 따라서 이 각각의 자산은 확률적 수익 (stochastic return) $R_A$와 $R_B$를 실현합니다. (확률적 수익이란 수익이 랜덤하다는 의미죠)
• 포트폴리오에 1달러를 투자했다고 가정합니다. A 자산에 0이 아닌 $x$만큼 자본이 배분되었다면 자동으로 B 자산에 $(1-x)$만큼 배분이 되어집니다.
• 이제 두 자산의 미래 가치를 $V_A$ 그리고 $V_B$라고 부릅니다.
• 앞서 언급했던 확률적 수익 $R_A$와 $R_B$는 (자산의 미래가치 $-$ 총 자본투입) 이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다:따라서 전체 포트폴리오 수익은 다음과 같습니다:
  $$\begin{array}{rl}{R}_P& =(x{V}_A+(1-x)V_B)-1\\ \text{(1)}& & =x{R}_A+(1-x)R_B\end{array}$$
  $$\begin{array}{rl}{R}_A& =V_A-1\\ R_B& =V_B-1\end{array}$$
• 이때 $R_A$와 $R_B$는 확률적 수익이므로 확률변수라고 볼 수 있고 따라서 확률분포(probability distribution)를 가지게 되고 평균(mean)과 분산(variance)이 존재하게 됩니다. $i$라는 금융자산의 수익을 $R_i$라고 부르고 그 평균과 분산을 $E(R_i)$와 $V(R_i)$라고 표기한다면 (1)식에 대입한 포트폴리오 전체의 기대수익(평균수익)식과 수익분산식은 다음과 같이 쓰여집니다:

$$\begin{array}{rl}E(R_P)& =xE(R_A)+(1-x)E(R_B)\\ V(R_P)& =x^{2}V(R_A)+(1-x{)}^{2}V(R_B)+2x(1-x)Cov(R_A,R_B)\end{array}$$

이 두 식을 활용하여 우리는 두 가지의 간단한 포트폴리오 조합을 만들 수 있습니다. 이 두 가지 조합이 모든것의 기초가 됩니다.

• 한 개의 위험자산(risky asset)과 한 개의 무위험자산(risk-free asset)으로 구성된 포트폴리오,
• 두 개의 위험자산들로 구성된 포트폴리오.

2. 포트폴리오 구성: One Risky Asset and One Risk-Free Asset

A 위험자산(예: 주식)과 무위험수익률 $r_f$를 실현하는 B 위험자산(예: 미국단기국채)으로 이루어진 포트폴리오가 있다고 가정해보겠습니다. 바로 위에 서술된 기대수익식과 분산수익식에 가정한 포트폴리오의 구성을 적용한다면 다음 식을 얻게됩니다:

$$\begin{array}{rl}E(R_P)& =xE(R_A)+(1-x)r_f\\ V(R_P)& ={\sigma }_P^2=x^2{\sigma }_A^2\end{array}$$

이때 수익분산값 $V(R_P)$ 으로부터 우리는 다음과 같은 자산배분률 x를 얻게됩니다:

$$x=\frac{{\sigma }_P}{{\sigma }_A}$$

이때 ${\sigma }_P$와 ${\sigma }_A$는 각각 포트폴리오의 표준편차(standard deviation), 확률자산 A의 표준편차 입니다.

자산배분률 x를 이용하여 우리는 기대수익식을 다음과 같이 새로이 표현할 수 있습니다:

$$\begin{array}{rl}E(R_P)& =\frac{{\sigma }_P}{{\sigma }_A}E(R_A)+(1-\frac{{\sigma }_P}{{\sigma }_A})r_f\\ & =\frac{{\sigma }_P}{{\sigma }_A}(E(R_A)-r_f)+r_f\end{array}$$

약간의 식 정리를 통해 다듬어진 식은 다음과 같습니다:

$$E(R_P)=\frac{E(R_A)-r_f}{{\sigma }_A}{\sigma }_P+r_f$$

우리는 여기서 두 가지를 주목해야 합니다:

• $E(R_P)$가 변수 ${\sigma }_P$, 기울기(slope) $\frac{E(R_A)-r_f}{{\sigma }_A}$, 그리고 절편(intercept) $r_f$를 가지는 선형 함수라는점 입니다.
• 이때 기울기 $\frac{E(R_A)-r_f}{{\sigma }_A}$가 그 유명한 샤프 지수(Sharpe ratio) 입니다. 샤프 지수는 $S_A$로 흔히 표기되며 그 용도는 (위험자산의 기대수익률 $-$ 확실자산 수익률)을 해당 위험자산의 표준편차로 나누어 투자의 단위 위험률에 비해 얼만큼의 초과수익을 얻을 수 있는지 알려주는 지수입니다 (excessive return of a risky asset A per each unit of risk undertaken by the asset A). (위험자산 대신 포트폴리오의 기대수익률을 넣어도 됩니다.)

3. 포트폴리오 구성: Two Risky Assets

2번 섹션에서는 하나의 위험자산과 하나의 무위험자산이 있다고 가정했었습니다. 이번에는 A라는 위험자산과 B라는 위험자산 두 개로만 이루어진 포트폴리오가 있다고 가정해보겠습니다. 앞서 정의한 기대수익식과 수익분산식을 현재 포트폴리오의 구성에 적용한다면 다음 식을 얻게됩니다:

$$\begin{array}{rl}E(R_P)& =xE(R_A)+(1-x)E(R_B)\\ V(R_P)& =x^2{\sigma }_A^2+(1-x{)}^2{\sigma }_B^2+2x(1-x){\sigma }_{AB}\end{array}$$

이때의 수익분산식은 보시면 아시겠지만 $x$가 1인경우, 즉 두 개의 위험자산이 아닌 하나의 위험자산에만 투자한 경우일때를 제외하고는 선형적이지 않습니다.

A와 B의 상관계수(correlation coefficient) ${\rho }_{AB}$의 공식은 다음과 같습니다:

$${\rho }_{AB}=\frac{Cov(R_A,R_B)}{SD(A)\times SD(B)}=\frac{{\sigma }_{AB}}{{\sigma }_A{\sigma }_B}$$

이때 A와 B의 공분산 ${\sigma }_{AB}$는 양수가 될 수도, 음수가 될 수도 있습니다. 이론적으로는 완벽한 -1, 0, 1도 가능하만 현실세계에서는 찾아보기 어렵습니다. 그 중 완벽한 0은 특히 찾아보기 힘듭니다.

이 글에서는 언급하지 않겠지만 효용함수(utility function)을 1차조건 최적화(First-order condition optimization)를 사용하여 최적 자산 배분률 $x$를 구할 수 있습니다. 이때 구한 최적 자산 배분률을 사용하여 우리는 두 개의 확률자산들로 구성된 포트폴리오를 n 개의 위험자산들로 구성된 포트폴리오로 일반화 시킬 수 있으며 이로부터 Capital Market Line과 Efficient Frontier, Feasible Set을 그려 Global Minimum Variance를 가지는 Tangent Portfolio를 찾을 수 있습니다. 갑자기 설명이 건너뛴것 같은 느낌이 드실 수 있지만 이론적으로만 중요한 부분이니 후에 CAPM을 구하는데는 큰 어려움이 없습니다. (나중에 추가하겠습니다)